• 拟合是用一个连续函数（曲线）靠近给定的离散数据，使其与给定的数据相吻合。
• 数据拟合的算法相对比较简单，但调用不同工具和方法时的函数定义和参数设置有所差异，往往使小白感到困惑。
• 本文基于 Scipy 工具包，对单变量、多变量线性最小二乘拟合，指数函数、多项式函数、样条函数的非线性拟合，单变量、多变量的自定义函数拟合问题进行分析、给出完整例程和结果，数据拟合从此无忧。

1. 数据拟合

在科学研究和工程应用中经常通过测量、采样、实验等方法获得各种数据。对一组已知数据点集，通过调整拟合函数（曲线）的参数，使该函数与已知数据点集相吻合，这个过程称为数据拟合，又称曲线拟合。

插值和拟合都是根据一组已知数据点，求变化规律和特征相似的近似曲线的过程。但是插值要求近似曲线完全经过所有的给定数据点，而拟合只要求近似曲线在整体上尽可能接近数据点，并反映数据的变化规律和发展趋势。因此插值可以看作是一种特殊的拟合，是要求误差函数为 0 的拟合。

1.1 数据拟合问题的分类

数据拟合问题，可以从不同角度进行分类：

• 按照拟合函数分类，分为线性函数和非线性函数。非线性函数用于数据拟合，常用的有多项式函数、样条函数、指数函数和幂函数，针对具体问题还有自定义的特殊函数显示。
• 按照变量个数分类，分为单变量函数和多变量函数。
• 按照拟合模型分类，分为基于模型的数据拟合和无模型的函数拟合。基于模型的数据拟合，是通过建立数学模型描述输入输出变量之间的关系，拟合曲线不仅能拟合观测数据，拟合模型的参数通常具有明确的物理意义。而无模型的函数拟合，是指难以建立描述变量关系的数学模型，只能采用通用的函数和曲线拟合观测数据，例如多项式函数拟合、样条函数拟合，也包括机器学习和神经网络模型，这种模型的参数通常没有明确的意义。

1.2 数据拟合的原理和方法

数据拟合通过调整拟合函数中的待定参数，从整体上接近已知的数据点集。

这是一个优化问题，决策变量是拟合函数的待定参数，优化目标是观测数据与拟合函数的函数值之间的某种误差指标。典型的优化目标是拟合函数值与观测值的误差平方和；当观测数据的重要性不同或分布不均匀时，也可以使用加权误差平方和作为优化目标。

数据拟合的基本方法是最小二乘法。对于观测数据 ( x i , y i ) , i = 1 , . . n，将观测值 y i与拟合函数 y = f ( x , p ) 的计算值 f ( x i ) 的误差平方和最小作为优化问题的目标函数：

对于多变量线性最小二乘问题，设拟合函数为直线 f ( x ) = p 0 + p 1 ∗ x 1 + ⋯ + p m ∗ x m ， 类似地，可以解出系数 p 0 , p 1 , ⋯ p m 。

对于非线性函数的拟合问题，通常也是按照最小二乘法的思路，求解上述误差平方和最小化这个非线性优化问题，常用的具体算法有搜索算法和迭代算法两类。

1.3 Python 数据拟合方法

数据拟合是常用算法，Python 语言的很多工具包都提供了数据拟合方法，常用的如 Scipy、Numpy、Statsmodel、Scikit-learn 工具包都带有数据拟合的函数与应用。

Scipy 是最常用的 Python 工具包，本系列中非线性规划、插值方法也都是使用 Scipy 工具包实现，因此仍以 Scipy 工具包讲解数据拟合问题。

Scipy 工具包对于不同类型的数据拟合问题，提供了不同的函数或类。由于 Scipy 工具包是多个团队合作完成，而且经过了不断更新，因此调用不同函数和方法时的函数定义和参数设置有所差异，往往使小白感到困惑。

本文对单变量、多变量线性最小二乘拟合，指数函数、多项式函数、样条函数的非线性拟合，单变量、多变量的自定义函数拟合问题进行分析、给出完整例程和结果，数据拟合从此无忧。

2. 线性最小二乘拟合

2.1 线性最小二乘拟合函数说明

线性最小二乘拟合是最简单和最常用的拟合方法。scipy.optimize 工具箱中的 leastsq()、lsq_linear()，scipy.stats 工具箱中的 linregress()，都可以实现线性最小二乘拟合。

2.1.1 scipy.optimize.leastsq 函数说明

leastsq() 根据观测数据进行最小二乘拟合计算，只需要观测值与拟合函数值的误差函数和待定参数 的初值，返回拟合函数中的待定参数 ( p 1 , ⋯ p m ) ，但不能提供参数估计的统计信息。leastsq() 可以进行单变量或多变量线性最小二乘拟合，对变量进行预处理后也可以进行多项式函数拟合。

scipy.optimize.leastsq(func, x0, args=(), Dfun=None, full_output=0, col_deriv=0, ftol=1.49012e-08, xtol=1.49012e-08, gtol=0.0, maxfev=0, epsfcn=None, factor=100, diag=None)

主要参数：

• func：可调用的函数，描述拟合函数的函数值与观测值的误差，形式为 error(p,x,y)，具有一个或多个待定参数 p。误差函数的参数必须按照 (p,x,y) 的顺序排列，不能改变。
• x0：一维数组，待定参数 ( p 1 , ⋯ p m ) 的初值。
• args：元组，线性拟合时提供观测数据值 (xdata, ydata)，观测数据 xdata 可以是一维数组（单变量问题），也可以是多维数组（多变量问题）。

返回值：

• x：一维数组，待定参数 ( p 1 , ⋯ p m )的最小二乘估计值。

2.1.2 scipy.stats.linregress 函数说明

linregress() 根据两组观测数据 (x,y) 进行线性最小二乘回归，不仅返回拟合函数中的待定参数 ( p 1 , p 1 )，而且可以提供参数估计的各种统计信息，但只能进行单变量线性拟合。

scipy.stats.linregress(x, y=None, alternative=‘two-sided’)

主要参数：

• x, y：x, y 是长度相同的一维数组。或者 x 是二维数组，且 y=none，则二维数组 x 相当于 长度相同的一维数组 x, y。

返回值：

• slope：斜率，直线 f ( x ) = p 0 + p 1 ∗ x中的 p 1。
• intercept：截距，直线 f ( x ) = p 0 + p 1 ∗ x中的 p 0 。
• rvalue：r^2 值，统计量。
• pvalue：p 值，P检验的统计量。
• stderr：标准差，统计量。

2.2 Python 例程：单变量线性拟合

程序说明：

1. scipy.optimize.leastsq() 与 scipy.stats.linregress() 都可以进行单变量线性拟合。leastsq() 既可以用于单变量也可以用于多变量问题；linregress() 只能用于单变量问题，但可以给出很多参数估计的统计结果。
2. leastsq() 要以子函数来定义观测值与拟合函数值的误差函数，例程中分别定义了拟合函数 fitfunc1(p, x) 与误差函数error1(p, x, y) ，是为了方便调用拟合函数计算拟合曲线在数据点的函数值。注意 p 为数组 。
3. leastsq() 中误差函数的函数名可以任意定义，但误差函数的参数必须按照 (p,x,y) 的顺序排列，不能改变次序。
4. leastsq() 中观测数据 (x, yObs) 是以动态参数 args 的方式进行传递的。这种处理方式非常独特，没有为什么， leastsq() 就是这样定义的。
5. linregress() 只要将观测数据 (x,yObs) 作为参数，默认单变量线性拟合，不需要定义子函数。
6. leastsq() 与 linregress() 进行线性拟合，得到的参数估计结果是相同的。

Python 例程：

# mathmodel25_v1.py# Demo25 of mathematical modeling algorithm# Demo of curve fitting with Scipy# Copyright 2021 YouCans, XUPT# Crated：2021-08-03# 1. 单变量线性拟合：最小二乘法 scipy.optimize.leastsqimport numpy as npimport matplotlib.pyplot as plt  # 导入 Matplotlib 工具包from scipy.optimize import leastsq  # 导入 scipy 中的最小二乘法拟合工具from scipy.stats import linregress  # 导入 scipy 中的线性回归工具def fitfunc1(p, x):  # 定义拟合函数为直线    p0, p1 = p  # 拟合函数的参数    y = p0 + p1*x  # 拟合函数的表达式    return ydef error1(p, x, y):  # 定义观测值与拟合函数值的误差函数    err = fitfunc1(p,x) - y  # 误差    return err# 创建给定数据点集 (x,yObs)p = [2.5, 1.5]  # y = p[0] + p[1] * xx = np.array([0., 0.5, 1.5, 2.5, 4.5, 5.5, 7.5, 8.0, 8.5, 9.0, 10.0])y = p[0] + p[1] * x  # 理论值 ynp.random.seed(1)yObs = y + np.random.randn(x.shape[-1])  # 生成带有噪声的观测数据# print(x.shape, y.shape, yObs.shape)# 由给定数据点集 (x,y) 求拟合函数的参数 pFitp0 = [1, 1]  # 设置拟合函数的参数初值pFit, info = leastsq(error1, p0, args=(x,yObs))  # 最小二乘法求拟合参数print("Data fitting with Scipy.optimize.leastsq")print("y = p[0] + p[1] * x")print("p[0] = {:.4f}np[1] = {:.4f}".format(pFit[0], pFit[1]))# 由拟合函数 fitfunc 计算拟合曲线在数据点的函数值yFit = fitfunc1(pFit,x)# 比较：线性回归，可以返回斜率，截距，r 值，p 值，标准误差slope, intercept, r_value, p_value, std = linregress(x, yObs)print("nLinear regress with Scipy.stats.linregress")print("y = p[0] + p[1] * x")print("p[0] = {:.4f}".format(intercept))  # 输出截距 interceptprint("p[1] = {:.4f}".format(slope))  # 输出斜率 slopeprint("r^2_value: {:.4f}".format(r_value**2))  # 输出 r^2 值print("p_value: {:.4f}".format(p_value))  # 输出 p 值print("std: {:.4f}".format(std))  # 输出标准差 std# 绘图fig, ax = plt.subplots(figsize=(8,6))ax.text(8,3,"youcans-xupt",color='gainsboro')ax.set_title("Data fitting with linear least squares")plt.scatter(x, yObs, label="observed data")plt.plot(x, y, 'r--', label="theoretical curve")plt.plot(x, yFit, 'b-', label="fitting curve")plt.legend(loc="best")plt.show()

程序运行结果：

Data fitting with Scipy.optimize.leastsqy = p[0] + p[1] * xp[0] = 2.2688p[1] = 1.5528Linear regress with Scipy.stats.linregressy = p[0] + p[1] * xp[0] = 2.2688p[1] = 1.5528r^2_value: 0.9521p_value: 0.0000std: 0.1161

程序说明：

1. scipy.optimize.leastsq() 本质上是求解带有待定参数的误差函数最小化问题，因此可以用于多项式函数的最小二乘拟合，使用方法与线性拟合、指数拟合类似。
2. 由于 leastsq() 要以子函数 error(p, x, y) 来定义观测值与拟合函数值的误差函数，在比较不同阶数的多项式函数拟合时需要定义多个对应的误差函数，比较繁琐。
3. scipy.linalg.lstsq() 只要传入观测数据 (x,yObs)，并将 x 按多项式阶数转换为 X，即可求出多项式函数的系数，不需要定义拟合函数或误差函数，非常适合比较不同阶数的多项式函数拟合的效果。
4. 对于相同阶数的多项式函数，leastsq() 与 lstsq() 的参数估计和拟合结果是相同的。
5. 增大多项式的阶数，可以减小拟合曲线与观测数据的误差平方和，但也更容易导致过拟合，虽然能更好地拟合训练数据，但并不能真实反映数据的总体规律，因而对于训练数据以外的测试数据的拟合效果反而降低了。

Python 例程：

# mathmodel25_v1.py# Demo25 of mathematical modeling algorithm# Demo of curve fitting with Scipy# Copyright 2021 YouCans, XUPT# Crated：2021-08-03# 4. 非线性函数拟合：多项式函数拟合(Polynomial function)import numpy as npimport matplotlib.pyplot as plt  # 导入 Matplotlib 工具包from scipy.linalg import lstsq  # 导入 scipy 中的 linalg, stats 函数库from scipy.optimize import leastsq  # 导入 scipy 中的最小二乘法工具def fitfunc4(p, x):  # 定义拟合函数    p0, p1, p2, p3 = p  # 拟合函数的参数    y = p0 + p1*x + p2*x*x + p3*x*x*x  # 拟合函数的表达式    return ydef error4(p, x, y):  # 定义观测值与拟合函数值的误差函数    err = fitfunc4(p,x) - y  # 残差    return err# 创建给定数据点集 (x,yObs)p = [1.0, 1.2, 0.5, 0.8]  # y = p0 + ((x*x-p1)**2+p2) * np.sin(x*p3)func = lambda x: p[0]+((x*x-p[1])**2+p[2])*np.sin(x*p[3])  # 定义 y=f(x)x = np.linspace(-1, 2, 30)y = func(x)  # 计算已知数据点的理论值 y =f(x)np.random.seed(1)yObs = y + 0.5*np.random.randn(x.shape[-1])  # 生成带有噪声的观测数据 yObs# 绘图fig, ax = plt.subplots(figsize=(8,6))ax.set_title("Polynomial fitting with least squares")plt.scatter(x, yObs, label="observed data")plt.plot(x, y, 'c--', label="theoretical curve")# 用 scipy.optimize.leastsq() 进行多项式函数拟合p0 = [1, 1, 1, 1]  # 设置拟合函数的参数初值pFit, info = leastsq(error4, p0, args=(x,yObs))  # 最小二乘法求拟合参数yFit = fitfunc4(pFit, x)  # 由拟合函数 fitfunc 计算拟合曲线在数据点的函数值ax.plot(x, yFit, '-', label='leastsq')print("Polynomial fitting by scipy.optimize.leastsq")print("y = p[0] + p[1]*x + p[2]*x^2 +p[3]*x^3")  # 拟合函数的表达式print("p[0] = {:.4f}np[1] = {:.4f}np[2] = {:.4f}np[3] = {:.4f}".format(pFit[0], pFit[1], pFit[2], pFit[3]))# 用 scipy.linalg.lstsq() 进行多项式函数拟合print("nPolynomial fitting by scipy.linalg.lstsq")print("y = w[0] + w[1]*x + w[2]*x^2 + ... + w[m]*x^m")  # 拟合函数的表达式# 最小二乘法多项式数据拟合，求解多项式函数的系数 W=[w[0],...w[m]]for order in range(1,5):    # order = 3  # 多项式阶数, m    X = np.array([[(xi ** i) for i in range(order + 1)] for xi in x])    Y = np.array(yObs).reshape((-1, 1))    W, res, rnk, s = lstsq(X, Y)  # 最小二乘法求解 A*W = b    print("order={:d}".format(order))    for i in range(order+1):  # W = [w[0],...w[order]]        print("tw[{:d}] = {:.4f}".format(i, W[i,0]))    # 由拟合函数 fitfunc 计算拟合曲线在数据点的函数值    yFit = X.dot(W)  # y = w[0] + w[1]*x + w[2]*x^2 + ... + w[m]*x^m    # 绘图：n 次多项式函数拟合曲线    ax.plot(x, yFit, '-', label='order={}'.format(order))plt.legend(loc="best")plt.show()

程序运行结果：

Polynomial fitting by scipy.optimize.leastsqy = p[0] + p[1]*x + p[2]*x^2 +p[3]*x^3p[0] = 0.9586p[1] = -0.4745p[2] = -0.3581p[3] = 1.1721Polynomial fitting by scipy.linalg.lstsqy = w[0] + w[1]*x + w[2]*x^2 + ... + w[m]*x^morder=1w[0] = 1.0331w[1] = 1.7354order=2w[0] = 0.2607w[1] = 0.3354w[2] = 1.4000order=3w[0] = 0.9586w[1] = -0.4745w[2] = -0.3581w[3] = 1.1721order=4w[0] = 1.0131w[1] = 1.6178w[2] = -1.1039w[3] = -1.5209w[4] = 1.3465

curve_fit() 使用非线性最小二乘法将自定义的拟合函数拟合到观测数据，不仅可以用于直线、二次曲线、三次曲线的拟合，而且可以适用于任意形式的自定义函数的拟合，使用非常方便。curve_fit() 允许进行单变量或多变量的自定义函数拟合。

**scipy.optimize.curve_fit(f,xdata,ydata,p0=None,sigma=None,absolute_sigma=False,check_finite=True,bounds=(-inf,inf),method=None,jac=None,kwargs) **

主要参数：

• f：可调用的函数，自定义的拟合函数，具有一个或多个待定参数。拟合函数的形式为 func(x,p1,p2,…)，其中参数必须按照 (x,p1,p2,…) 的顺序排列，p1, p2,… 是标量不能表达为数组。
• xdata：n*m数组，n 为观测数据长度，m为变量个数。观测数据 xdata 可以是一维数组（单变量问题），也可以是多维数组（多变量问题）。
• ydata：数组，长度为观测数据长度 n。
• p0：可选项，待定参数 [p1,p2,…] 的初值，默认值无。

返回值：

• popt：待定参数 ( p 1 , ⋯ p m ) 的最小二乘估计值。
• pcov：参数 ( p 1 , ⋯ p m )的估计值 popt 的协方差，其对角线是各参数的方差。

4.2 Python 例程：单变量自定义函数曲线拟合

程序说明：

1. 不同于 leastsq() 定义观测值与拟合函数值的误差函数，scipy.optimize.curve_fit() 直接定义一个自定义的拟合函数，更为直观和便于理解。
2. curve_fit() 定义一个拟合函数，函数名可以任意定义，但拟合函数的参数必须按照 (x,p1,p2,…) 的顺序排列，不能改变次序。p1, p2,… 是标量，不能写成数组。注意 leastsq() 中误差函数的参数必须按照 (p,x,y) 的顺序排列，与 curve_fit() 不同。
3. leastsq() 也可以对自定义的拟合函数进行最小二乘拟合。
4. 由于本例程中自定义拟合函数使用了观测数据的实际模型，而不是通用的多项式函数或样条函数，因此拟合结果不仅能很好的拟合观测数据，而且能更准确地反映实际模型的趋势。

Python 例程：

# 6. 自定义函数曲线拟合：单变量import numpy as npimport matplotlib.pyplot as plt  # 导入 Matplotlib 工具包from scipy.optimize import leastsq, curve_fit  # 导入 scipy 中的曲线拟合工具def fitfunc6(x, p0, p1, p2, p3):  # 定义拟合函数为自定义函数    # p0, p1, p2, p3 = p  # 拟合函数的参数    y = p0 + ((x*x-p1)**2+ p2) * np.sin(x*p3)    return y# def error6(p, x, y):  # 定义观测值与拟合函数值的误差函数#     p0, p1, p2, p3 = p#     err = fitfunc6(x, p0, p1, p2, p3) - y  # 计算残差#     return err# 创建给定数据点集 (x, yObs)p0, p1, p2, p3 = [1.0, 1.2, 0.5, 0.8]  # y = p0 + ((x*x-p1)**2+ p2) * np.sin(x*p3)x = np.linspace(-1, 2, 30)y = fitfunc6(x, p0, p1, p2, p3)np.random.seed(1)yObs = y + 0.5*np.random.randn(x.shape[-1])  # 生成带有噪声的观测数据# # 用 scipy.optimize.leastsq() 进行函数拟合# pIni = [1, 1, 1, 1]  # 设置拟合函数的参数初值# pFit, info = leastsq(error6, pIni, args=(x, yObs))  # 最小二乘法求拟合参数# print("Data fitting of custom function by leastsq")# print("y = p0 + ((x*x-p1)**2+ p2) * np.sin(x*p3)")# print("p[0] = {:.4f}np[1] = {:.4f}np[2] = {:.4f}np[3] = {:.4f}"#       .format(pFit[0], pFit[1], pFit[2], pFit[3]))# 用 scipy.optimize.curve_fit() 进行自定义函数拟合(单变量)pFit, pcov = curve_fit(fitfunc6, x, yObs)print("Data fitting of custom function by curve_fit:")print("y = p0 + ((x*x-p1)**2+ p2) * np.sin(x*p3)")print("p[0] = {:.4f}np[1] = {:.4f}np[2] = {:.4f}np[3] = {:.4f}"      .format(pFit[0], pFit[1], pFit[2], pFit[3]))print("estimated covariancepcov:n",pcov)# 由拟合函数 fitfunc 计算拟合曲线在数据点的函数值yFit = fitfunc6(x, pFit[0], pFit[1], pFit[2], pFit[3])# 绘图fig, ax = plt.subplots(figsize=(8,6))ax.set_title("Data fitting of custom function")plt.scatter(x, yObs, label="observed data")plt.plot(x, y, 'r--', label="theoretical curve")plt.plot(x, yFit, 'b-', label="fitting curve")plt.legend(loc="best")plt.show()

程序运行结果：

Data fitting of custom function by curve_fit：y = p0 + ((x*x-p1)**2+ p2) * np.sin(x*p3)p[0] = 0.9460p[1] = 1.1465p[2] = 0.8291p[3] = 0.6008estimated covariancepcov: [[ 0.01341654  0.00523061 -0.01645431  0.00455901] [ 0.00523061  0.02648836 -0.04442234  0.02821206] [-0.01645431 -0.04442234  0.20326672 -0.07482843] [ 0.00455901  0.02821206 -0.07482843  0.0388316 ]]

结果分析：

4.3 Python 例程：多变量自定义函数曲线拟合

程序说明：

scipy.optimize.curve_fit() 既可以用于单变量也可以用于多变量问题，本例程求解一个二元非线性拟合问题。

curve_fit() 定义一个拟合函数 fitfunc7(X, p0, p1, p2, p3)，函数名可以任意定义，但拟合函数的参数必须按照 (x,p1,p2,…) 的顺序排列，不能改变次序。p1, p2,… 是标量，不能写成数组。

curve_fit(fitfunc7, X, yObs) 中的 X 是 (n,m) 数组，n 是观测数据点集的长度，m 是变量个数。

Python 例程：

# mathmodel25_v1.py# Demo25 of mathematical modeling algorithm# Demo of curve fitting with Scipy# Copyright 2021 YouCans, XUPT# Crated：2021-08-03# 7. 自定义函数曲线拟合：多变量import numpy as npimport matplotlib.pyplot as plt  # 导入 Matplotlib 工具包from scipy.optimize import curve_fit  # 导入 scipy 中的曲线拟合工具def fitfunc7(X, p0, p1, p2, p3):  # 定义多变量拟合函数, X 是向量    # p0, p1, p2, p3 = p  # 拟合函数的参数    y = p0 + p1*X[0,:] + p2*X[1,:] + p3*np.sin(X[0,:]+X[1,:]+X[0,:]**2+X[1,:]**2)    return y# 创建给定数据点集 (x,yObs)p = [1.0, 0.5, -0.5, 5.0]  # 自定义函数的参数p0, p1, p2, p3 = p  # y = p0 + p1*x1 + p2*x2 + p3*np.sin(x1+x2+x1^2+x2^2)np.random.seed(1)x1 = 2.0 * np.random.rand(8)  # 生成随机数组，长度为 8x2 = 3.0 * np.random.rand(5)  # 生成随机数组，取值范围 (0,3.0)xmesh1, xmesh2 = np.meshgrid(x1, x2)  # 生成网格点的坐标 xx,yy (二维数组)xx1= xmesh1.reshape(xmesh1.shape[0]*xmesh1.shape[1], )  # 将网格点展平为一维数组xx2= xmesh2.reshape(xmesh2.shape[0]*xmesh2.shape[1], )  # 将网格点展平为一维数组X = np.vstack((xx1,xx2))  # 生成多变量数组，行数为变量个数y = fitfunc7(X, p0, p1, p2, p3)  # 理论计算值 y=f(X,p)yObs = y + 0.2*np.random.randn(y.shape[-1])  # 生成带有噪声的观测数据print(x1.shape,x2.shape,xmesh1.shape,xx1.shape,X.shape)# 用 scipy.optimize.curve_fit() 进行自定义函数拟合(多变量)pFit, pcov = curve_fit(fitfunc7, X, yObs)  # 非线性最小二乘法曲线拟合print("Data fitting of multivariable custom function")print("y = p0 + p1*x1 + p2*x2 + p3*np.sin(x1+x2+x1^2+x2^2)")for i in range(4):    print("p[{:d}] = {:.4f}tp[{:d}]_fit = {:.4f}".format(i, p[i], i, pFit[i]))# 由拟合函数 fitfunc 计算拟合曲线在数据点的函数值yFit = fitfunc7(X, pFit[0], pFit[1], pFit[2], pFit[3])

程序运行结果：

Data fitting of multivariable custom function:y = p0 + p1*x1 + p2*x2 + p3*np.sin(x1+x2+x1^2+x2^2)p[0] = 1.0000p[0]_fit = 1.1316p[1] = 0.5000p[1]_fit = 0.5020p[2] = -0.5000p[2]_fit = -0.5906p[3] = 5.0000p[3]_fit = 5.0061estimated covariancepcov: [[ 9.51937904e-03 -2.82863223e-03 -5.26393413e-03 -8.51457970e-04] [-2.82863223e-03  4.88275894e-03  9.39281331e-05  3.73832161e-04] [-5.26393413e-03  9.39281331e-05  3.86701646e-03  4.65766686e-04] [-8.51457970e-04  3.73832161e-04  4.65766686e-04  1.85374067e-03]]