先从熟稔的数学着手起步。
1.线型迭代与递归 Linear Recursion and Iteration
我们从“阶乘”开始。
n! = n *(n-1)*(n-2)....3*2*1计算“阶乘”的方法有很多，最直觉的一种解法（从n逐次递减）
n!=n⋅[(n−1)⋅(n−2)⋯3⋅2⋅1]=n⋅(n−1)!直接用function表达为：
> function factorial(n) {... return n === 1... ? 1... : n * factorial(n-1);... }undefined> factorial(6)720绘制函数执行的Shape：
A linear recursive process for computing 6!.
接下来，我们从另外一个视角审视。从1开始，逐次乘到n：
product <-- counter * productcounter <-- counter + 1当counter超过n时，输出product结果。
function factorial(n) { return fact_iter(1, 1, n);}function fact_iter(product, counter, max_count) { return counter > max_count ? product : fact_iter(counter * product, counter + 1, max_count);}factorial(5);# 最终的结果放在前面同样可视化其执行过程如下：
A linear iterative process for computing 6!.
分析第一种递归结构，执行结构先expansion再constraction。expansion过程建立在层层的deferre-operatioin之上；而constraction过程发生于运算的实际执行中，此种类型的 deferred operations称之为递归a recursive process。
于此相反，第二个函数没有grow和shrink的过程。在每一步中，都对n追踪记录，即product, counter, and max-count。该过程称之为 a linear iterative process.
二者的区别在于，interactive-case，所有的state信息都保存在每一个过程中；而在recursive-case中，编译器维护着hidden-information。
在tail-recursion机制之下，iterative-recursion将会执行为iteration-process。
2.树状递归
第二种“演变模式”是“树状递归”，以Fibonacci数列为例：
0,1,1,2,3,5,8,13,21,…Fibonacci数列有如下定义：
Fibonacci数列
简单粗暴的将定义实现出来：
function fib(n) { return n === 0 ? 0 : n === 1 ? 1 : fib(n - 1) + fib(n - 2);}fib(6);此函数在时间线里演变呈现“树状结构”：
The tree-recursive process generated in computing (fib 5) fib(5)
然而该解决方案的运行效率极低，从图中可知，fib(1), fib(2), fib(3)重复计算。
颇为值得一提的是，Fib(n)的值无限趋近于ϕn/√5。其中 ϕ为“黄金比例”：
ϕ2=ϕ+1至此，已知函数的“发展演变模式”为树状结构。下一步，如何判断此函数动作是一部“臭棋”还是一步“好棋”呢？答案是从“时间复杂度”和“空间复杂度”两方面着手分析。
于是，我们看到 fib(n)函数在“时间复杂度”上，指数级增长；而另外一方面，”空间复杂度”则“线性增长”。一言以蔽之，树状递归执行的总步数，取决于总的节点数量；而所需的空间则与生成树的最大深度成正比。
作为对比，尝试用iterative的方法计算Fibonacci。须用到一对数a和b，并初始化Fib(1)=1 and Fib(0)=0，反复应用以下转换：
a <--- a + bb <--- aa与b的数值最终将分别对应Fib(n+1) and Fib(n)。
function fib(n) { return fib_iter(1, 0, n);}function fib_iter(a, b, count) { return count === 0 ? b : fib_iter(a + b, a, count - 1);}更加符合直觉的表达方式是：
function fib(n) { return fib_iter(1, 0, n);}function fib_iter(next, current, count) { return count === 0 ? current : fib_iter(next + current, next, count - 1);}这第二种解法就是“线型迭代”。
对比以上两种解法。Tree-Recursion的解法更加符合直觉，有助于在初步阶段，梳理清楚脉络；而第二种Linear-Recursion的解法则需要较多的观察，注意到计算过程需要三个状态变量。
