基本不等式，也叫柯西不等式，是初中数学中的重要定理，它在高中及以上数学、物理、化学学科中都有广泛应用。下面介绍基本不等式的三种常用证明方法。
一、向量法证明
将两个向量a和b看做是平面直角坐标系中的两个列向量，则它们的点积ab=|a||b|cosθ，其中|a|和|b|分别表示向量a和b的模长，θ是它们之间的夹角。由于cosθ的值范围在[-1,1]之间，则ab的值也不会超过|a||b|，即：
ab≤|a||b|
这就是基本不等式。它是由向量求模长、点积运算及三角函数知识推导得出的。
二、平均值不等式证明
平均值不等式是数学中一个重要的定理，它表明正数的几何平均值不小于算术平均值。将基本不等式的左边进行平方得：
(a1²+a2²+…+an²)(b1²+b2²+…+bn²)≥(a1b1+a2b2+…+anbn)²
设x1,x2,…,xn均为正实数，则：
(x1+x2+…+xn)²/n≥x1²+x2²+…+xn²
即以n个正实数的算术平均数代替它们的几何平均数后，基本不等式仍然成立。
三、数学归纳法证明
数学归纳法是数学中证明某个命题对所有自然数n都成立的一种方法。对于基本不等式，我们可以用n来代替其中的2，即对于任意正整数n，都有：
(a1²+a2²+…+an²)(b1²+b2²+…+bn²)≥(a1b1+a2b2+…+anbn)²
当n=2时，基本不等式已经得到证明，假设当n=k（k≥2）时基本不等式成立，则当n=k+1时，有：
(a1²+a2²+…+ak²+a(k+1)²)(b1²+b2²+…+ak²+b(k+1)²)≥(a1b1+a2b2+…+akbk+a(k+1)b(k+1))²
两边同时除以(a1²+a2²+…+ak²)(b1²+b2²+…+ak²)，则上式可化为：
[(a1²+a2²+…+ak²)/(a1²+a2²+…+ak²+b1²+b2²+…+ak²)]×[(b1²+b2²+…+ak²)/(a1²+a2²+…+ak²+b1²+b2²+…+ak²)]×[(a(k+1)²+b(k+1)²)/(a1²+a2²+…+ak²+b1²+b2²+…+ak²+b(k+1)²)]≥[(a1b1+a2b2+…+akbk)/(a1b1+a2b2+…+akbk+b(k+1)k(k-1))]×[(a(k+1)b(k+1))/(a1b1+a2b2+…+akbk+b(k+1)k(k-1))]×[(a(k+1)b(k+1))/(a1b1+a2b2+…+akbk+b(k+1)k(k-1))]²
根据数学归纳法的思想，前面的部分都是不小于1的，后面的部分根据(n=2)时基本不等式可知不小于1，所以整个式子也不小于1，证毕。
