积分中值定理公式(定积分的性质;积分中值定理)

之前在讲微分求导内容的时候,介绍过一系列微分中值定理的推导。既然有微分中值定理,那么自然也有积分中值定理,我们下面就来看看积分中值定理的定义。

极值定理

极值定理也叫最大最小值定理,它的含义非常直观:如果函数f(x)在区间[a,b]上连续的函数,必然存在最大值和最小值,并且取到最大值和最小值至少一次。

这是一个非常有名的定理,定理的内容很直观,也不难理解。但是证明它不太容易,是由区间套定理与B-M定理等多个定理推导得到的

牛顿341、定积分的性质;积分中值定理

定积分(百度百科):…

…定,积、分、积分,定积分:见《牛顿337~341》…

根据上述定义(见《牛顿338》),若函数f(x)在区间[a,b]上可积分,则有n等分的特殊分法:

…定、义、定义:见《欧几里得28》…

…函、数、函数:见《欧几里得52》…

定积分的性质;积分中值定理

特别注意,根据上述表达式有,当[a,b]区间恰好为[0,1]区间时,则[0,1]区间积分表达式为:

定积分的性质;积分中值定理
定积分的性质;积分中值定理
定积分的性质;积分中值定理

性质

…性、质、性质:见《欧几里得37》…

1、当a=b时,

定积分的性质;积分中值定理

2、当a>b时,

定积分的性质;积分中值定理

3、常数可以提到积分号前。

…常、数、常数:见《欧几里得132》…

定积分的性质;积分中值定理

4、代数和的积分等于积分的代数和。

定积分的性质;积分中值定理

5、定积分的可加性:如果积分区间[a,b]被c分为两个子区间[a,c]与[c,b],则有:

定积分的性质;积分中值定理

又由于性质2,若f(x)在区间D上可积,区间D中任意c(可以不在区间[a,b]上)满足条件。

6、如果在区间[a,b]上,f(x)≥0,则

定积分的性质;积分中值定理

7、积分中值定理:设f(x)在[a,b]上连续,则至少存在一点ε在[a,b]内使:

定积分的性质;积分中值定理

…定、理、定理:见《欧几里得2》…

…ε(伊普西龙):希腊字母第五个字母,大写Ε,小写ε,拉丁字母的E是从ε变来…

定积分的性质;积分中值定理
定积分的性质;积分中值定理

““±号在这里可以理解为‘方向’。从a到b积分是正方向的话,从b到a积分就是负方向。”现代学者说。

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