鸡爪定理(高中数学:再说鸡爪定理)

前一章利用鸡爪定理解决的几个问题。今天想详细回顾一下此定理的历史生成和经典应用

此定理源远流长,古已有之,但是冠名鸡爪定理据说是上海延安中学钟建国老师,这个名字还是非常形象生动的,一经出现,马上广泛流传。

还需要说明的是:

高中数学:再说鸡爪定理
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下面看看其经典应用。

1、 四边形ABCD内接于圆,△BCD,△ACD,△ABD,△ABC内心分别为A’,B’,C’,D’。

证明A’B’C’D’为矩形(1986年中国国家集训队选拔考试)

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证明:如图,由鸡爪定理得BD’A’C共圆,

则∠CA’D’=180°-∠CBD’,

同理∠CA’B’=180°-∠CDB’,

则∠D’A’D’=360°-∠CA’D’-∠CA’B’=

∠CBD’+∠CDB’=(1/2)(∠CBA+∠CDA)=90°

同理可证另三个角也为直角,即A’B’C’D’为矩形。

注:1)本题很老,简单但也很经典,事实上还有不少问题值得思考,例如其逆命题是否成立,何时矩形变成正方形等。

2) 前面说过,旁心和内心是等价的,每一个内心的性质旁心都有。如果引入四个三角形的旁心,则图形蔚为大观,事实上,本题是一个几何中的定理——霍夫曼(Fuhrmann)定理的一部分, 此定理内容为:圆上四点构成的四个三角形,他们的内心和旁心共16个点分布在8条直线上,每线上四点;且8条直线是两组互相垂直的平行线,每组四条直线。如下图所示,证明应该如法炮制,不再赘述;

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2、 欧拉-查柏(Euler-Chapple)公式:(其中O、I为△ABC外心、内心,R、r为圆O、圆I半径)

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证明:易知Rt△NBS∽Rt△ADI,

得(NS/BS)=(AI/ID),

即AI*BS=2Rr。

由“鸡爪”定理,BS=IS,

∴AI*IS=2Rr。①

而由圆幂公式:

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由①、②即知结论成立。

注:1)、本证明很典型,要求对圆幂定理有敏锐而准确的认识,还要合理利用鸡爪定理和相似,值得反复品味和细细揣摩。

2)、其逆命题也是真的,即过圆O上任意点D作圆I切线与圆O再次交于E、F,则EF与圆I相切。此为2009年东南竞赛试题,大致证明如下:由Euler-Chapple公式及圆幂定理得DI*IP=2Rr,而DI=(r/sin(D/2)),于是IP=2Rsin(D/2);而由正弦定理,EP=2Rsin(D/2);∴IP=EP。

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3)、本结论也是经典而深刻的,第4届IMO考过其特例。它刻画了有共同的内接、外切三角形的圆心距离与两圆半径的关系。本结论可以大大推广,例如如果一个四边形和一个圆相切又内接于另一个圆,则称其为双心四边形,有类似的性质,进一步双心多边形也有很多复杂而神奇的性质,一般称为彭色列(Poncelet)封闭定理。进一步多边形还能再推广为圆,称为斯坦纳(Steiner)定理。再进一步还能在空间中推广为索迪(Soddy)六球定理(索迪为大化学家,诺贝尔化学奖获得者)。有兴趣的读者可以查阅相关资料。而且此定理不只对圆成立,对于圆锥曲线也成立。2009年高考江西卷及2012年高考浙江卷的解析几何压轴题分别是此定理在椭圆和抛物线中的推广。

3 已知:O、I、H为△外心、内心、垂心,OI//BC;

证明: AI⊥IH(人大附中早培7年级学生任弈海发现的结论)

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证明:类似2中证明有△QBF∼△ATI

则(FB/IT)=(QF/AI)=(2OF/AI),

又由垂心性质有AH=2OM=2IJ=2TI

故(OF/AI)=(FB/2IT)=(FB/AH),

∴△OIF∼△IHA

AI⊥IH

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注:本结论还是很漂亮的,证明几乎照搬了欧拉定理,当然还可以考虑其逆命题。

4、曼海姆定理:如图,圆O’内切圆O于D,A为大圆O上任一点,AB、AC为圆O的弦,分别切圆O’于E、F,EF交AO’于I,求证:I为△ABC内心。

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证明:利用点对圆的幂来计算。延长AO’交圆O于P,设圆O、O’半径为R、r、,则

利用圆幂定理,从而

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即IP=2Rsin1=BP,则由鸡爪定理逆定理知I为ABC内心。

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注:1、)曼海姆定理也是一个复杂的体系,证明方法很多,图形也有很多有趣的性质,有很多题目都与之有关。由上述证明不难发现其逆命题也是成立的,证明如法炮制。

2、)红色的圆一般称为“伪内切圆”,里面蕴含着丰富的性质,“文武光华数学工作室”里的潘成华和田开斌老师对此图形有深入的研究和挖掘,发表过一系列文章,潘成华甚至被称为“伪圆(委员)长”。

3、)曼海姆定理的另外一种等价叙述是:A为定圆I外定点,圆I的动切线交过A的圆I的切线于B、C,则ABC外接圆O与某个定圆相切(或者说ABC外接圆包络为圆),此定圆即为图中红色的伪圆。进一步圆O的轨迹为双曲线,里面也有很多有趣的性质值得研究和推广。而且显然此圆还能是旁切圆,这里再次强调内心和旁心的等价地位。

5 、已知:I为△ABC内心,M、N为BC、弧BAC中点,

求证:∠IMB=∠INA

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证明:如图,设MN交BC弧于F,则AIF共线,

且∠FMB=∠FAN=90°,

由鸡爪定理(FI^2)=FM*FN(或者由射影定理得到),

故△FMI∼△FIN,

则∠FMI=∠FIN,

故∠IMB=∠INA。

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6 、已知:I为△ABC内心,M为AC中点,且AI⊥IW,

CI交ABC外接圆于W。

求CI:IW(2017年沙雷金几何奥林匹克9年级)

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解:如图,延长IW到J,使得WJ=WI,

则由鸡爪定理得JA⊥AI,则JA//IM,

故IJ=IC,CI:IW=2。

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7 、已知:如图,O、I为△ABC外心、内心,过I的OI的垂线交BC于E,过A的IE的平行线交圆O于F,(萧振纲老师讲义上题目)

求证:EI=EF

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证明:如图,BI、CI交圆O于H、G,

设EI交GH于T,

由蝴蝶定理知IE=IT;

由鸡爪定理知GA=GI,HA=HI,

故FH为AI中垂线,

则TA=TI,ATEF为等腰梯形,

由对称知EI=EF

(事实上,本题即为昨天的第2题的变形,证明方法也是如出一辙)

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