0.9循环就是0.999······后面跟无穷多个9。简记为0.9，“9”上面加一点。初中的时候曾疑惑过，
后来想过一个方法，算是理解了这个问题，通过归纳：
因为
所以直观上自然有
一家人就是应该整整齐齐嘛！
当然，这个问题也问过老师，老师肯定了两个数相等，并证明如下：
这个证明很有启发性，不仅解决了我的问题，还教会了我怎样将任意一个无限循环小数转化为分数。
比如：
言归正传。
后来等学了高等数学，从极限的角度来看，对这个问题认识地更深了。其实是一个无穷级数的求和问题：
虽然解决了问题，但是通过这样一种无穷级数求和的迂回手段，显得不那么直观了。
直到学习了数学分析中的实数论，算是再一次直观且深刻地认识了这个问题。
对于实数轴，有以下显然易见地结论：
如果两个数相等，那么这两个数在数轴上的位置重合，反之也成立。
这不是废话吗？分析一下，这看似废话的一句话，其实也恰好是我们一开始错觉的来源，0.9循环，应该在1的左边，比1小那么一点点，在数轴上，这个数和1的位置并不重合，所以看起来，这两个数也就不相等了。
问题在哪儿呢？
回头看看刚刚的结论，有一个词的描述其实是非常文字式的、直觉式的，“位置重合”。现在来思考一下这个词的数学内涵。位置重合，意味着两个数在数轴上的距离为零。距离为零，也就意味着，两个数之间不存在其他数。没有第三个数插足！
如果两个数相等，那么这两个数在数轴上，不存在中间数。反之也成立。
比如0.1和0.2，显然不相等，为什么呢？因为0.11，0.12，0.13，…这些0.1和0.2之间“插足者”们的存在，注定了0.1不可能等于0.2。再比如，0.0001和0也不想等，因为他们之间，还有0.000001，0.000002，….等等无限多个插足者。我们还能得到这样一个很有内涵的结论，实数x和y只要存在一个插足者，那么必然存在无限多个插足者。
回头再看看，0.9循环和1，它们之间有插足者吗？能找到一个比1小，但是又比0.9循环大的实数吗？
我们从比1小的数当中来找，0.8，0.9，0.99，0.999，0.9999，0.999999…不论我们找一个什么样的数，只要小于1，那就都比0.9循环小。
0.9循环和1之间，不存在插足者。
所以0.9循环=1。
事实上，根据以上结论，任何一个有理数都能写成无限循环小数的形式：先把分数化成小数，对有限小数，只要把末尾的数字减去1，然后后面添上无穷多个9就行了。
比如：
这样来看，其实无限小数的“无限”，并不是什么特别的性质。任何一个实数，无论有理数还是无理数，都能表示一个无限小数的形式。都能在实数轴上画出来。对于有理数，不必区分是有限小数还是无限循环小数，因为所有有限小数都能表示成无限循环小数。而众所周知，无理数就是无限不循环小数，所以有理数和无理数，其区别关键还在是否循环上。
总结：有理数=无限循环小数，无理数=无限不循环小数。
